反比例函数规律型探究题

反比例函数规律型探究题第 1 篇

知识技能目标

反比例函数的教学设计

　　1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质;

　　2.利用反比例函数的图象解决有关问题.

　　过程性目标

　　1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质;

　　2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题.

　　教学过程

　　一、创设情境

　　上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢?本节课，我们就来讨论一般的反比例函数(k是常数，k≠0)的图象，探究它有什么性质.

　　二、探究归纳

　　1.画出函数的图象.

　　分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0.

　　解1.列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

　　2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.

　　3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反比例函数的图象.

　　上述图象，通常称为双曲线(hyperbola).

　　提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?

　　学生试一试：画出反比例函数的图象(学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤).

　　学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题.

　　1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?

　　2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?

　　3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?

　　反比例函数有下列性质：

　　(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;

　　(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.

　　注1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;

　　2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称.

　　以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义?

　　在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少.

　　在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小.

　　三、实践应用

　　例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值.

　　分析由反比例函数的定义可知：,又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值.

　　解由题意，得解得.

　　例2已知反比例函数(k≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx-k的图象经过的象限.

　　分析由于反比例函数(k≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，因此k<0，而一次函数y=kx-k中，k<0，可知，图象过二、四象限，又-k>0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方.

　　解因为反比例函数(k≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0，所以一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限.

　　例3已知反比例函数的图象过点(1,-2).

　　(1)求这个函数的解析式，并画出图象;

　　(2)若点A(-5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?

　　分析(1)反比例函数的图象过点(1,-2)，即当x=1时，y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;

　　(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.

　　解(1)设：反比例函数的解析式为：(k≠0).

　　而反比例函数的图象过点(1,-2)，即当x=1时，y=-2.

　　所以，k=-2.

　　即反比例函数的解析式为：.

　　(2)点A(-5,m)在反比例函数图象上，所以，

　　点A的坐标为.

　　点A关于x轴的对称点不在这个图象上;

　　点A关于y轴的对称点不在这个图象上;

　　点A关于原点的`对称点在这个图象上;

　　例4已知函数为反比例函数.

　　(1)求m的值;

　　(2)它的图象在第几象限内?在各象限内，y随x的增大如何变化?

　　(3)当-3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值.

　　解(1)由反比例函数的定义可知：解得，m=-2.

　　(2)因为-2<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大.

　　(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，

　　所以当x=时，y最大值=;

　　当x=-3时，y最小值=.

　　所以当-3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为.

　　例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米.

　　(1)写出用高表示长的函数关系式;

　　(2)写出自变量x的取值范围;

　　(3)画出函数的图象.

　　解(1)因为100=5xy,所以.

　　(2)x>0.

　　(3)图象如下：

　　说明由于自变量x>0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.

　　四、交流反思

　　本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质.

　　1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola).

　　2.反比例函数有如下性质：

　　(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;

　　(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.

　　五、检测反馈

　　1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：

　　(1);(2).

　　2.已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8,求：

　　(1)y和x的函数关系式;

　　(2)当时，y的值;

　　(3)当x取何值时，?

　　3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值.

　　4.已知反比例函数经过点A(2,-m)和B(n,2n)，求：

　　(1)m和n的值;

　　(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1<0 反比例函数规律型探究题第 2 篇

教学目标：

　　1、知识与能力目标：(1)复习反比例函数概念、图象与性质的知识点，通过相应知识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。

　　(2)能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式,会画出它的图象，并根据问题确定自变量的取值范围及增减性

　　2、过程与方法目标：通过对相关问题的'变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神。

　　3、情感态度与价值观目标：创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法。

　　教学重点和难点

　　重点：进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用。

　　难点：反比例函数性质的灵活运用。数形结合思想的应用。

　　教学方法：探究——讨论——交流——总结

　　教学媒体：多媒体课件。

　　教学过程：

　　一、知识梳理：

　　同学们，今天我们就来复习反比例函数，通过今天的复习课，希望大家加深对反比例函数知识的理解和运用首先请同学们回忆一下，对反比例函数你了解那知识?

　　课件展示：

　　1.反比例函数的意义

　　2.反比例函数的图象与性质

　　3.利用反比例函数解决实际问题

　　二、合作交流、解读探究

　　(一)与反比例函数的意义有关的问题

　　课件展示：

　　忆一忆：什么是反比例函数?

　　要求学生说出反比例函数的意义及其等价形式

　　巩固练习：课件展示：

　　1.下列函数中，哪些是反比例函数?

　　(1)y= 5/x(2)y=x/4+2 (3)y= -5/3x(4)y=-7 x的-1次方(5)y=1/x+4

　　2、写出下列问题中的函数关系式，并指出它们是什 么函数?

　　⑴当路程s一定时，时间t与平均速度v之间的关系.

　　⑵质量为m(kg)的气体，其体积v(m3)与密度ρ(kg/m3)之间的关系.

　　3.若y= 为反比例函数，则m=______

　　4.若y=(m-1) 为反比例函数，则m=______ .

　　(二)运用反比例函数的图象与性质解决问题

　　1.反比例函数的图象是

　　2.图象性质见下表(课件展示)：

　　3.做一做(课件展示)

　　(1)函数y= 的图象在第______象限，当x<0时，y随x的增大而______ .

　　(2)双曲线y= 经过点 (-3 ，______ ).

　　(3)函数y= 的图象在二、四象限内，m的取值范围是______ .

　　(4)若双曲线经过点(-3 ，2)，则其解析式是______.

　　(5)已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)都在反比例函数y= 的图象上,则y1、y2 与y3的大小关系(从大到小)为____________ .

　　(三)综合运用(课件展示)

　　一次函数的图像y=ax+b与反比例函数y= 交与M(2，m)、N(-1，-4)两点。(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图像写出反比例函数的值大于一次函数的值的X 的取值范围

　　三、随堂练习

　　见课件

　　四、小结

　　1.反比例函数的意义

　　2.反比例函数的图象与性质

　　五、作业:配套练习22页21、22题

反比例函数规律型探究题第 3 篇

　　一、知识与技能

　　1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解．

　　2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．

　　二、过程与方法

　　1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点．

　　2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识．

　　三、情感态度与价值观

　　1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣．

　　2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．

　　教学重点：

　　理解和领会反比例函数的概念．

　　教学难点：

　　领悟反比例的概念．

　　教学过程：

　　一、创设情境，导入新课

　　活动1

　　问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？

　　(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；

　　(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的.长为y随宽x的变化；

　　(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化．

　　师生行为：

　　先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所讨论的函数的表达形式．

　　教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．

　　在此活动中老师应重点关注学生：

　　①能否积极主动地合作交流．

　　②能否用语言说明两个变量间的关系．

　　③能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．

　　分析及解答：（1）；（2）；（3）

　　其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；

　　上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数．

　　二、联系生活，丰富联想

　　活动2

　　下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？

　　（1）一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；

　　（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；

　　（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化．

　　师生行为

　　学生先独立思考，在进行全班交流．

　　教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：

　　(1)能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；

　　(2)能否积极主动地参与小组活动；

　　(3)能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念．

　　分析及解答：（1）；（2）；（3）

　　概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零．

　　活动3

　　做一做：

　　一个矩形的面积为20cm2， 相邻的两条边长为xcm和ycm．那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

　　师生行为：

　　学生先进行独立思考，再进行全班交流．教师提出问题，关注学生思考．此活动中教师应重点关注：

　　①生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；

　　②学生能否顺利抽象反比例函数的模型；

　　③学生能否积极主动地合作、交流；

　　活动4

　　问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？

　　问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6

　　(1)写出y与x的函数关系式：

　　(2)求当x=4时，y的值．

　　师生行为：

　　学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．在此活动中教师应重点关注：

　　①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；

　　②学生能否积极主动地参与小组活动．

　　分析及解答：

　　1．只有xy=123是反比例函数．

　　2．分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值．

　　解：（1）设，因为x=2时，y=6，所以有解得k=12

　　三、巩固提高

　　活动5

　　1．已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y= ?8．

　　（1）写出y与x之间的函数关系式．

　　（2）求y=2时x的值．

　　2．y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

　　（1）写出这个反比例函数的表达式；

　　（2）根据函数表达式完成上表．

　　学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”．

　　四、课时小结

　　反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象．

反比例函数规律型探究题第 4 篇

　教学目标:《反比例函数》教学设计

　　(一)教学知识点

　　1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程.

　　2.体会数学与现实

　　生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力

　　(二)能力训练要求

　　通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力.

　　(三)情感与价值观要求

　　经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的'作用.

　　教学重点:

　　用反比例函数的知识解决实际问题.

　　教学难点:

　　如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.

　　教学方法:

　　教师引导学生探索法.

　　教学过程:

　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课

　　[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢?

　　[生]是为了应用.

　　[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学.

　　Ⅱ.新课讲解

　　投影片：(5.3A)

　　某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么

　　(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗?为什么?

　　(2)当木板画积为0.2m2时.压强是多少?

　　(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?

　　(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.