《圆周角和圆心角的关系》课题教案

　　教 学目 标

　　知识与技能

　　1.掌握圆周角定理几个推论的内容.

　　2.会熟练运用推论解决问题.

　　改进建议

　　(请属名并标注单位)

　　过程与方法

　　1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.

　　2.在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.

　　情感态度与价值观

　　培养学生的探索精神和解决问题的能力.

　　教学重点

　　圆周角定理的几个推论的应用.

　　教 学

　　难 点

　　理解几个推论的“题设”和“结论”.

　　教 法 与

　　方 法

　　指导探索法.

　　教 学 活 动 过 程 设 计

　　步 骤

　　教 师 活 动

　　学 生 活 动

　　一、

　　创 设情 境导 入新 课

　　[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?

　　[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?

　　[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?

　　[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?

　　[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即圆周角定理.

　　[生]分类讨论、化归、转化思想方法.

　　一、

　　创 设情 境导 入新 课

　　[师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§3.3.2 A)

　　已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图.

　　求证：PA·PB=PC·PD

　　.要想解决这个问题.我们需先进行下面的学习.

　　[师生共析]要证PA·PB=PC·PD，可证.由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似.由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD.要证△PAC∽△PDB.由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等.如∠A=∠D或∠C=∠B.便可证得所求结论.如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B

　　二、

　　尝 试探 究解 决问 题

　　[师]请同学们画一个圆，

　　以A、C为端点的弧所对的圆

　　周角有多少个?(至少画三个)

　　它们的大小有什么关系?你是

　　如何得到的?

　　[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC=∠ADC=∠AEC?(同学们互相交流、讨论)

　　[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C=∠B找到答案了吗?

　　[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗?

　　[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论.

　　[生] 弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的.

　　[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等.

　　[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角.由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A=∠D或∠C=∠B.

　　[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等.

　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

　　[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议.

　　注意：(1)“同弧”指“同一个圆”.

　　(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.

　　(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.

　　[师]接下来我们看下面的问题：

　　如右图，BC是⊙O

　　的直径，它所对的圆周

　　角是锐角、直角，还是

　　钝角?你是如何判断的?

　　(同学们互相交流，讨论)

　　[师]反过来，在下

　　图中，如果圆周角∠BAC

　　=90°，那么它所对的弦

　　BC经过圆心O吗?为什么?

　　[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：

　　直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

　　注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题.

　　[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题.(出示投影片§3.3.2 B)

　　[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?

　　[生]如下图，结论不

　　成立.因为一条弦所对的

　　圆周角有两种可能，在弦

　　不是 直径的情况下是不相

　　等的.

　　[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°.

　　[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°.连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径.

　　[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD.由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD.

　　下面哪位同学能叙述一下理由?

　　[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明.

　　[生]BD=CD.理由是：

　　连结AD.

　　∵AB是⊙O的直径，

　　∴∠ADB=90°.

　　即AD⊥BC.

　　又∵AC=AB,

　　∴BD=CD.

　　[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;还学到了分类与转化的方法.比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……

　　三、

　　课 堂练 习巩 固新 知

　　P107 随堂练习

　　1.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性.

　　2. 如下图，⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC=30°，求AC的长.

　　解：∵AB为⊙O的直径.

　　∴ACB=90°.

　　又∵∠ABC=30°，

　　∴AC= AB= ×10=5(cm).

　　答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.

　　四、

　　课 堂小 结布 置作 业

　　课时小结

　　本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法.

　　课后作业

　　课本P108 习题3.5

　　板

　　书

　　设

　　计

　　§ 3.3.2 圆周角和圆心角的关系(二)

　　一、推论一：

　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

　　二、推论二：

　　直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

　　三、例题

　　四、随堂练习

　　五、做一做(反证法)

　　六、课时小结

　　七、课后作业

　　教学反思