二次函数交点式例题

二次函数交点式例题第 1 篇

二次函数是初级中数学教学学的重点和难点，特别是待定系数法、实际问题与二次函数，在各级各类考试试卷中常有体现，学生在遇到此类问题时，总感觉到又繁又难，特别我们边疆少数民族学生，本来对数学就有“恐惧症”，所以这种问题上丢分率特高，而现在的人教版初中新教材又不讲二次函数的交点式，更是让学生只能用常规的解法勉强的得到少量的分数，实际上只要在教学过程中补充二次函数的交点式便可以将二次函数的部分问题化繁为简、化难为易，从而提高得分率。

象 这种二次函数的解析式，即为二次函数的交点式（其中 、 分别是二次函数图像与 轴的两个交点的横坐标）。当二次函数的图象与 轴有两个交点 时，设二次函数的解析式为 ，代人另一个已知点的坐标就可求出二次函数的解析式。在二次函数的教学中，当列出的解析式是交点式形如 时，利用二次函数的交点式求最大值或最小值可以简化计算。即令 时， ，求出抛物线与 轴交点的坐标：（ ，0），（ ，0），根据抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴是：直线 ，把 代入解析式即可求出最值，从而可以达到简化的目的。下面举几个简单的例子，谈谈我在几年教学过程中的总结出的二次函数交点式的应用。

一、用二次函数的交点式求解析式：

例1：2010年楚雄中考题第22题

即涨价5元时，利润最大，每星期最大利润为6250元，所以定价为65元利润最大，每星期最大利润为6250元。

所以，在二次函数的教学中，注意补充并灵活运用二次函数的交点式，可以避免较大数字的计算，化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果，从而提高正确率、得分率。

参考文献：

[1] 姚文孝.数学思想方法论选讲.东北师范大学出版社，2001.

[2] 张一民.中学数学教法研究.昆明：云南教育出版社，1997.

[3] 课程教材研究所・中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准试验教科书数学九年级下册.昆明：云南教育出版社.

二次函数交点式例题第 2 篇

　　教学目的：

　　通过复习，使学生能熟悉二次函数的几种基本表达式，会选用合适的表达式解题;学会数形结合的数学思想;学会知识的迁移能力，会理论联系实际，解决实际问题。

　　教学过程：

　　二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。

　　一、二次函数常用的几种解析式的确定

　　一般式：

　　顶点式：

　　交点式：

　　平移式：

　　二、求二次函数解析式的思想方法

　　1、 求二次函数解析式的常用方法：

　　待定系数法、配方法、数形结合等。

　　2、求二次函数解析式的 常用思想：

　　转化思想 : 解方程或方程组

　　3、二次函数解析式的最终形式：

　　无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。

　　三、应用举例

　　例1、已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。

　　针对练习：

　　1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为

　　-1，求其解析式。

　　2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为(-1，0),(1，0)，点(0，1)在图像上，求其解析式。

　　例2、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。

　　针对练习：

　　3、将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。

　　例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。

　　(1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的'高度)。

　　针对练习：

　　4、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m.一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道?

　　5. 刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?

课堂小结

　　1、二次函数常用解析式

　　2、求二次函数解析式的一般方法：

　　已知图象上三点坐标，通常选择一般式。

　　已知图象的顶点坐标(对称轴或最值)，通常选择顶点式。

　　已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。

　　已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。

　　3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。

　　课后练习

　　一份二次函数复习卷

二次函数交点式例题第 3 篇

1、交点式：y=a(X-x1)(X-x2)，[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]。

2、在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根。

二次函数交点式例题第 4 篇

　　1二次函数及其图像

　　二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

　　一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　一般式

　　y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

　　顶点式

　　y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

　　交点式

　　y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

　　牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)

　　求根公式

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

　　(即一元二次方程求根公式)

　　求根的方法还有因式分解法和配方法

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像

　　如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。

　　2画出对称轴，并注明X=什么

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

　　轴对称

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　顶点

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2;-4ac=0时，P在x轴上。

　　开口

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　决定对称轴位置的因素

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　决定抛物线与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　抛物线与x轴交点个数

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在

　　{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2c(a≠0)

　　特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　　①当x=1时y=abc

　　②当x=-1时y=a-bc

　　③当x=2时y=4a2bc

　　④当x=-2时y=4a-2bc

　　二次函数的性质

　　8.定义域：R

　　值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

　　正无穷);②[t，正无穷)

　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax^2bxc[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;

　　⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ>0，图象与x轴交于两点：

　　([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);

　　Δ=0，图象与x轴交于一点：

　　(-b/2a，0);

　　Δ<0，图象与x轴无交点;

　　②y=a(x-h)^2k[顶点式]

　　此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)

　　对称轴X=(X1X2)/2当a>0且X≧(X1X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦(X1X2)/2时Y随X

　　的增大而减小

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

　　用)。

　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。

　　26.2用函数观点看一元二次方程

　　1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。

　　2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　26.3实际问题与二次函数

　　在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。