高中数学几个重要不等式

高中数学几个重要不等式第 1 篇

　　教材分析

　　本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

　　课程目标分析

　　依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

　　1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重、难点分析

　　重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。

　　难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教法分析

　　本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

　　教学准备

　　多媒体课件、板书

　　教学过程

　　教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

　　具体过程安排如下：

　　创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式 。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　二、抽象归纳：

　　一般地，对于任意实数a，b，有 ，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[问] 你能给出它的证明吗?

　　学生在黑板上板书。

　　特别地，当a>0，b>0时，在不等式 中，以 、 分别代替a、b，得到什么?

　　设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

　　答案： 。

　　【归纳总结】

　　如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立。

　　我们称此不等式为基本不等式。 其中 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　若 ，则有 ，当且仅当a=b时， 。

　　[问] 怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

　　“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

高中数学几个重要不等式第 2 篇

　　教学准备

　　教学目标

　　1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重难点

　　1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教学过程

　　一、 创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式

　　在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　4、探究基本不等式证明方法：

　　[问] 如何证明基本不等式?

　　(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。)

　　方法一：作差比较或由

　　展开证明。

　　方法二：分析法(完成课本填空)

　　设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、

　　动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

　　点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

　　5、探究基本不等式的几何意义：

　　借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生

　　几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

　　四、探究归纳

　　下列命题中正确的是

　　结论：

　　若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值;

　　若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

　　简记为：“一正、二定、三相等”。

　　五、领悟练习：

　　公式应用之二：(最优化问题)

　　设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

　　(1) 在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

　　(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少?

　　六、反思总结，整合新知：

　　通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要

　　请教?

　　设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.

　　老师根据情况完善如下：

　　两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

　　三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

高中数学几个重要不等式第 3 篇

　　一、教材分析

　　1、本节教材的地位和作用

　　“基本不等式” 是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

　　2、 教学目标

　　(1)知识目标：探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决最值问题。

　　(2)能力目标：培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。?

　　(3)情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

　　3、教学重点、难点

　　根据课程标准制定如下的教学重点、难点

　　重点： 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

　　难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

　　二、教法说明

　　本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子，让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析;让学生边议、边评;组织学生学、思、练。通过师生和谐对话，使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

　　三、学法指导

　　为更好的贯彻课改精神，合理的对学生进行素质教育，在教学中，始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析，指导学生解决问题，感受知识的形成过程，培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

　　四、教学设计

　　◆运用2002年国际数学家大会会标引入

　　◆运用分析法证明基本不等式

　　◆不等式的几何解释

　　◆基本不等式的应用

　　1、运用2002年国际数学家大会会标引入

　　如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。(展示风车)

　　正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，设AE=a，BE=b，则正方形的面积为S=__，Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=_

　　从图形中易得，s≥s’，即

　　问题1：它们有相等的情况吗?何时相等?

　　问题2：当 a，b为任意实数时，上式还成立吗?(学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解)

　　一般地，对于任意实数a、b，我们有

　　当且仅当(重点强调)a=b时，等号成立(合情推理)

　　问题3：你能给出它的证明吗?(让学生独立证明)

　　设计意图

　　(1)运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

　　(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

　　(3)三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解.

　　2、运用分析法证明基本不等式

　　如果 a>0，b>0 ，

　　用 和 分别代替a，b。可以得到

　　也可写成

　　(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)

　　问题4：你能用不等式的性质直接推导吗?

　　要证 = 1 GB3 ①

　　只要证 = 2 GB3 ②

　　要证② ，只要证 = 3 GB3 ③

　　要证 = 3 GB3 ③ ，只要证 = 4 GB3 ④

　　显然， ④是成立的.当且仅当a=b时， 不等式中的等号成立.

　　(强调基本不等式取等的条件“等”)

　　设计意图

　　(1)证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神;

　　(2)证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解;

　　(3)此种证明方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

　　3、不等式的几何解释

　　如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a，CB=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连AD，BD，则CD= ，半径为

　　问题5： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? (学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解)

　　设计意图

　　几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

　　4、基本不等式的应用

　　例1.证明

　　(学生自己证明)

　　设计意图

　　(1)这道例题很简单，多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明，能够练习“分析法”证明不等式的过程;

　　(2)学生能够加深对基本不等式的理解，a和b不仅仅是一个字母，而是一个符号，它们可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一个多项式;

　　(3)此例不是课本例题，比课本例题简单，这样，循序渐进， 有利于学生理解不等式的内涵。

　　例2：(1)把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小?

　　(2)把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大?

　　(让学生分组合作、探究完成)

高中数学几个重要不等式第 4 篇

　　课标要求

　　知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;

　　过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式;

　　情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣; 识记 理解 应用 综合 知识点一：

　　基本不等式及其推导

　　过程 ∨ 知识点二：

　　基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;

　　2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。 教学情境一：

　　如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

　　会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

　　颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

　　问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 。

　　教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

　　我们考虑4个直角三角形的面积的和是 ，正方形的面积为 。

　　由图可知 ，即 .

　　当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

　　新知：若 ，则

　　教学情境二：

　　先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

　　再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

　　(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠).

　　假设两个正方形的面积分别为 和 ( )

　　问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗?

　　新知：若 ，则

　　问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗?

　　证明：因为 ，即 (当 时取等号)

　　(在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数)

　　证明：(分析法)：由于 ，于是要证明 ，

　　只要证明 ，

　　即证 ，即 ，

　　所以 ，(当 时取等号)

　　【板书】两个重要不等式

　　若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)

　　若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)