《圆》第3课时教案

　　教学内容

　　1.圆周角的概念.

　　2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半.

　　推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.

　　教学目标

　　1.了解圆周角的概念.

　　2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

　　3.理解圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

　　4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

　　设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.

　　重难点、关键

　　1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

　　2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

　　3.关键：探究圆周角的定理的存在.

　　教学过程

　　一、复习引入

　　(学生活动)请同学们口答下面两个问题.

　　1.什么叫圆心角?

　　2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?

　　老师点评：(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

　　(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.

　　刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上?如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题.

　　二、探索新知

　　问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

　　现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

　　1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?

　　2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?

　　3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?

　　(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.

　　老师点评：www.1230.org 初中数学资源网

　　1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

　　2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.

　　3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

　　下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

　　(1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

　　∵∠AOC是△ABO的外角

　　∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

　　∵OA=OB

　　∴∠ABO=∠BAO

　　∴∠AOC=∠ABO

　　∴∠ABC= ∠AOC

　　(2)如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC= ∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.

　　老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC.

　　(3)如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC= ∠AOC吗?请同学们独立完成证明.

　　老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC

　　现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的.

　　从(1)、(2)、(3)，我们可以总结归纳出圆周角定理：

　　在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

　　进一步，我们还可以得到下面的推导：

　　半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

　　下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

　　例1.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?

　　分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.

　　解：BD=CD

　　理由是：如图24-30，连接AD

　　∵AB是⊙O的直径

　　∴∠ADB=90°即AD⊥BC

　　又∵AC=AB

　　∴BD=CD

　　三、巩固练习

　　1.教材P92 思考题.

　　2.教材P93 练习.

　　四、应用拓展

　　例2.如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证： = = =2R.

　　分析：要证明 = = =2R，只要证明 =2R， =2R， =2R，即sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十分明显要在直角三角形中进行.

　　证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB

　　∵CD是直径

　　∴∠DBC=90°

　　又∵∠A=∠D

　　在Rt△DBC中，sinD= ，即2R=

　　同理可证： =2R， =2R

　　∴ = = =2R

　　五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

　　本节课应掌握：

　　1.圆周角的概念;

　　2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半;

　　3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

　　4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.

　　六、布置作业

　　1.教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13.

　　2.选用课时作业设计.