空间向量与立体几何教学安排

空间向量与立体几何教学安排第 1 篇

一、教学内容解析

本节课的内容是选自上海教育出版社《上海高级中学课本高三年级（试用本）》第十四、十五章立体几何知识的引言部分，属于策略性知识为主的数学分支起始课.

认识空间图形，运用文字语言、图形语言、符号（集合）语言进行交流，掌握画空间图形直观图的基本技能，发展学生的空间想象能力、推理论证能力是新课程标准的基本要求.本节课教学内容的上位知识为初中平面几何的相关知识、高中阶段集合符号语言知识，学生具有推理论证的能力.为实现新课程目标，本节课将“Why、 What、 How”的教学理念融入其中.主要通过直观感知、从具体到抽象，引导学生认识人类生存的现实空间，激发学生学习立体几何的兴趣；帮助学生自主建构，明确立体几何即将学习的内容；在学习过程中引导学生领悟从平面几何向立体几何类比、初步体验“化曲为直”、“图形割补拼”的思想方法.在后续的课程中，会采用思维论证、度量计算等方法进一步建构立体几何体系.本课为立体几何的后续学习做了良好的铺垫.

鉴于此，本节课的教学重点确定为：初步了解立体几何研究的主要内容和方法.主要内容包括：作图与识图；空间中基本元素（点、线、面）间的位置关系(线线、线面、面面关系)；空间中基本元素（点、线、面）间的度量关系（距离、角、面积、体积等）.主要思想方法体现在：命题和方法上的类比思想、空间问题到平面问题的转化与化归的思想.

结合本节课内容，教学需要反映立体几何体系发展历史及其应用.在介绍历史上关于立体几何知识的各种数学思想发展和起源过程中，开阔学生自身眼界与视野，启迪学生创造的灵感，激发学生学习的热情.教学中沟通平面几何和立体几何的联系，建构立体几何的研究框架，充分运用信息技术展示空间图形，培养学生创新思维能力.

二、教学目标设置

新“课标”指出，学生能体验从现实世界中抽象出空间形式的过程，学习立体几何的基本知识和基本技能，认识简单几何体的基本特征，掌握研究立体几何问题的基本方法，发展学生的空间想象能力，为将来进一步学习空间几何打下基础.根据本章内容学习的特点、学习方法和能力的要求，这节立体几何序言课的教学目标设置如下：

1.直观感受空间图形中的点、线、面间的位置关系和度量关系，了解立体几何的研究对象和内容.

2.体验平面到空间、空间到平面的类比和转化思想，发展由直观到抽象，由平面到空间的想象能力.

3.了解我国古代立体几何的研究成果，产生爱国主义情感，增强学习立体几何的热情，树立学习立体几何的自信心.

三、学生学情分析

这节课的授课对象是上海市示范性高中三年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力.在知识层面上，初中阶段学生已直观地认识了正方体、长方体、圆柱、圆锥等几何体；归纳出空间中点、线、面的部分位置关系.从方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了类比与转化思想.

学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：空间问题难以转化为平面问题，通过几何体的直观图难以想象几何体在空间中的具体结构，思维容易受平面图形的干扰，缺少在三维空间条件下进行思考的经验等.故本节课教学难点设定为：学生从平面图形到空间图形认知的转变.

针对学生的实际情况，本节课采用以下策略：

1.帮助学生寻找直观支柱

引导学生观察思考生活中具体实例，利用实物模型，归纳空间图形基本元素间的位置关系；运用信息技术（PPT、几何画板、立体几何画板、media等）展示空间图形，搭配相关的文字说明、动画、音像等形式呈现丰富的教学情境，渲染课堂气氛，激发学习兴趣，提高教学效率.

2.加强作图、识图能力的培养

通过观察实物教具，运用信息技术，展示空间图形的直观图，引导学生观察、想象，由直观图想象空间图形的形状和结构，进而在观察的基础上引导学生从不同的角度来识图，并借助直观图进行简单的计算，实现从平面概念到空间概念的转化.

3.运用类比转化的思想实现知识的迁移

从学生较为熟悉的长方形、长方体入手，引导学生观察、思考空间图形和平面图形之间的诸多相似性，从平面问题出发，用类比的方法，以问题串的形式引导学生猜想.发现在“几何命题”和“研究方法”上，可将平面几何类比到立体几何中去.通过教师引导、学生自主探究、合作交流，初步体验把空间问题转化为平面问题的解决策略.

四、教学策略分析

本节课属于策略性知识为主的数学分支起始课.所谓策略性知识就是对“如何学习，如何思维”的知识，让学生“学会学习，学会创造”.本节课主要设计理念是体现“Why to study（为什么学）；What to study（学什么）；How to study（怎么学）”,简称“WWH”.基于此，本节课由（一）情景引入——Why to study （二）观察、抽象——What to study （三）类比、转化——how to study （四）总结反思——Learn to sum up （五）任务后延——Learn to create 五个教学环节构成.教学重点是：初步了解立体几何的主要内容和方法，激发学生学习立体几何的兴趣.

环节一：情景引入——Why to study

立体几何教学强调几何直观，突出实物模型的使用，帮助学生通过直观、具体的实物模型过渡到空间想象，对形成空间想象问题能力起到至关重要的作用.从学生熟悉的3D技术应用出发制作视频，通过多媒体的展示，激发学生学习立体几何的兴趣.

环节二：观察、抽象——What to study

达芬奇的作品《最后的晚餐》帮助学生认识正确画出空间图形直观图的必要性.运用几何画板技术，动态演示空间中基本要素间的生成关系，以此出发抽象出文字语言、图形语言和集合语言三种语言的转化关系.对于较难理解的长方体直观图画法，教学上采用立体几何画板软件制作长方体空间旋转直观图视频，初步培养和发展学生的空间想象能力.通过观察实物模型和罗浮宫玻璃金字塔直观图，引导学生体验、探索空间基本元素间的位置关系和度量关系，激活学生思维.

环节三：类比、转化——how to study

利用教具和模型，帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定式的消极影响，从平面知识类比推广到空间知识.引用波利亚名言总结立体几何学习中采用类比方法的重要性.

遵循从已知到未知的原则，从圆面积求法这一问题出发，引导学生将平面中割补拼、无限逼近的思想类比推广到立体几何.在古代名家的介绍中，帮助学生了解数学知识的发生和发展过程，加深理解类比方法的内涵和外延.

在学生的最近发展区内，设计两个例题，让学生“做数学”、“做中学”，体验立体几何问题常常要转化为平面几何问题来解决，激发学生创新思维的发展.

环节四：总结反思——Learn to sum up

通过采用关键词和形象的思维导图技术，引导学生主动建构，形成知识体系，建立起一个多维的、富于想象力的课堂总结.帮助学生整理思路，并形象化的记忆本节课的主要内容，归纳体会数学思想方法.

立体几何的发展历史介绍，为学生拓宽了思路，充分揭示立体几何的文化内涵，肯定立体几何的科学价值.

环节五：任务后延——Learn to create

多形式、多层次的作业布置，启发学生自主探究，学会创造.

在本堂课的教学中，从观察出发，引导学生走进立体几何的世界.通过问题的探索和分析，逐步勾勒出一幅立体几何的学习蓝图.名家的介绍、达芬奇著名作品《最后的晚餐》、著名建筑的结构图激发学生的求知欲，明确立体几何知识是从生活中来，又服务于生活.通过学生最熟悉的长方体，感悟立体几何和平面几何的联系与区别，借助生动的学习活动，积累学习立体几何的经验.根据学情，在新旧知识连接点上创设问题情境，通过交流、讨论和总结，了解立体几何学习知识的主线，领悟数学思想方法的本质，把握立体几何的学习规律.

本节课关注：(1)学生是否了解立体几何学习的基本内容.(2)学生是否了解立体几何的研究方法.是否能从平面到空间做一些简单的类比.是否能从空间到平面做一些简单的转化.

五、教学过程设计

（一）情境引入（Why to study）

观看视频，观察模型，引出课题.

（二）观察、抽象（What to study）

1．质疑：立体几何研究对象是什么？

2．学会画图

（1）画长方体的直观图

（2）初步感知空间图形与平面图形画法的异同

（3）识图：趣味折纸

3．质疑：构成空间图形的基本要素是什么？

（1）通过数字化数学活动动态观察点、线、面间的生成关系.

（2）介绍立体几何的三种语言：文字语言、图形语言、集合语言.

4．直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

空间向量与立体几何教学安排第 2 篇

2、 过程与方法目标：通过让学生探 究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语 言之间的相互转化。

3、 情感、态度与价值目标：通过用集合论 的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点

重点：点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。

难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系。

三、教学方法和教学手段

在上课前将问题用学案的形式发给各组学生，让学生先在课下研究探讨，在课上以小组为单位就学案中的问题展开讨论并发表自己组的研究结果，并引导同学展开争论，同时利用课件给 同学一个直观的展示，然后得出结论。下附学生的学案

四、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

课题引入 让同学们观察几个几何体，从感性上对几何体有个初步的认识，并总结出空间立体几何研究的几个基本元素。 学生观察、讨论、总结，教师引导。 提高学生的学习兴趣

新课讲解

基础知识

能力拓展

探索研究 一、构成几何体的基本元素。

点、线、面

二、从集合的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。

点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集。

三、从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。

1、 点运动成直线和曲线。

2、 直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动。

3、 平行移动形成平面和曲面。

4、 绕点转动形成平面和曲面。

5、 注意直线的两种运动方式形成的曲面的区别。

6、 面运动成体。

四、点、线、面、之间的相互位置关系。

1、 点和线的位置关系。

点A

2、 点和面的位置关系。

3、 直线和直线的位置关系。

4 、 直线和平面的位置关系。

5、 平面和平面的位置关系。 通过对几何体的观察、讨论由学生自己总结。

引领学生回忆元素、集合的相互关系，讨论、归纳点、线、面之间的相互关系。

通过课件演示及学生的讨论，得出从 运动学的角度发现点、线、面之间的相互关系。

引导学生由生活中的实际例子总结出点、线、面之间的相互位置关系，让学生有个感性认识。 培养学生的观察能力。

培养学生将所学知识建立相互联系的能力。

让学生在观察中发现点、线、面之间的相互运动规律，为以后学习几何体奠定基础。

培养学生将学习联系实际的习惯，锻炼学生由感性认识上升为理性知识的能力。

课堂小结 1、 学习了构成几何体的基本元素。

2、 掌握了点、线、面之间的相互关系。

3、 了解了点、线、面之间的相互的位置关系。 由学生总结归纳。 培养学生总结、归纳、反思的学习习惯。

课后作业 试着画出点、线、面之间的几种位置关系。 学生课后研究完成。 检验学生上课的听课效果及观察能力。

附：1.1.1构成空间几何体的基本元素学案

(一)、基础知识

1、 几何体：________________________________________________________________

2、 长方体：________________________________ ___________________________ _____

3、 长方体的面：____________________________________________________________

4、 长方体的棱： ____________________________________________________________

5、 长方体的顶点：__________________________________________________________

6、 构成几何体的基本元素：__________________________________________________

7、 你能说出构成几何体的 几个基本元素之间的关系吗?

(二)、能力拓展

1、 如果点做连续运动，运动出来的轨迹可能是______________________ 因此点是立体几何中的最基本的元素,如果点运动的方向不变,则运动的轨迹是_____________ 如果点运动的轨迹改变,则运动的轨迹是________ ____ 试举几个日常生活中点运动成线的例子___ ________________________________

2、 在空间中你认为直线有几种运动方式_______________________________________分别形成_______________________________________________________你能举几个日常生活中的例子吗?

3、 你知道直线和线段的区别吗?_______________________________________如果是线段做上述运动,结果如何?_______________________________________.现在你能总结出平面和面的区别吗?______________________________________________

(三)、探索与研究

1、 构成几何体的基本元素是_________,__________,____________.

2、 点和线能有几种位置关系_________________________你能画图说明吗?

3、 点和平面能有几种位置关系_______________________你能画图说明吗?

4、 直线和直线能有几种位置关系________________________你能画图说明吗?

空间向量与立体几何教学安排第 3 篇

　1、空间一点 位于不共线三点 、 、 所确定的平面内的充要条件是存在有序实数组 、 、 、 ,对于空间任一点 ,有 且 ( 时常表述为:若 且 ,则空间一点 位于不共线三点 、 、 所确定的平面内。)

　　2、若多边形的面积为 ,它在一个平面上的射影面积为 ,若多边形所在的平面与这个平面所成的二面角为 ,则有 。(射影面积公式,解答题用此须作简要说明)

　　3、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

　　4、过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。

　　5、经过两条异面直线中的一条,只有一个平面与另一条直线平行。

　　6、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

　　7、对角线相等的平行六面体是长方体。

　　8、线段垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等。

　　9、经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线。(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)

　　10、如果一个角 所在平面外一点到这个角两边的距离相等,那么这点在平面 上的射影,在这个角的平分线上。(解答题用此须作简要证明)

　　11、若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

　　(1)当底面三角形为直角三角形时,射影落在斜边中点上。

　　(2)当底面三角形为锐角三角形时,射影落在底面三角形内。

　　(3)当底面三角形为钝角三角形时,射影落在底面三角形外。

　　12、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内),那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。

　　13、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。

　　14、若平面 、平面 、平面 两两互相垂直,那么顶点 在平面 内的射影是三角形 的垂心。

　　15、棱长为 的正四面体的对棱互相垂直,对棱间的距离为 。(该间距为小棱切球之直径)

　　16、设正四面体的棱长为 ,高为 ,外接球半径为 ,内切球半径为 ,棱切球(与各条棱都相切的球,正四面体中存在两个这样的球)半径为 ,体积为 ,则:

　　, , , 或 ,

　　17、设正方体的棱长为 ,正方体的内切球、棱切球(与各条棱都相切的球)、外接球的半径分别为 、 、 ,则 , , 。

　　18、若二面角 的平面角为 ,其两个面的法向量分别为 、 ,且夹角为 ,则 或 ( )。

　　19、点 到平面 的距离: (其中 为垂足, 为斜足, 为平面 的法向量)。

　　20、证明两平面平行:

　　(1)若平面 、 的法向量 、 共线,则 ;

　　(2)若平面 、 有相同的`法向量 ,则 。

　　21、若直线 与平面 的法向量 共线,则可推出 。

　　22、设 为空间直角坐标系内一点,平面 的方程为: ,则点 到平面 的距离为 。

　　23、证明两平面垂直:

　　(1)确定两个平面 、 的法向量 、 ,若 ,则 ;

　　(2)在平面 内找出向量 ,若 与 的法向量共线,则 ;

　　24、向量 与 轴垂直 竖坐标 (对 轴、 轴同理)。

　　25、"等积变换"、"割形"与"补形"是解决立体几何问题常用方法。有关正四面体中的计算有时可造正方体模型,使正方体的面对角线恰好构成正四面体。

　　三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体。

　　题型:四面体abcd中,共顶点a的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1、 、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为( )。该题型解法:可构造球内接长方体,长方体的体对角线长为球直径。

　　补充:三棱锥能够构造长方体的几种基本情形

　　(1)三条侧棱两两垂直的三棱锥可以构造长方体;

　　(2)三个侧面两两垂直的三棱锥可以构造长方体;

　　(3)三组对棱两两相等的三棱锥可以构造长方体。

空间向量与立体几何教学安排第 4 篇

　[教学目标]

　　一、知识与技能：认识棱柱棱锥和棱台及多面体的几何特征；了解它们的概念，能正确做出它们的草图

　　二、过程与方法：通过观察→平移→棱柱的概念，收缩→棱锥的概念，截面→棱台的概念，汇总→多面体的概念

　　三、情感态度和价值观：体会观察、比较、归纳、分析一般的科学方法，感受数学的局部和整体的关系

　　[教学难点]平移及对棱台概念的理解，平面几何与立体几何的区别

　　[教学重点] 棱柱棱锥和棱台概念间的关系，画它们的草图

　　[备注]本节是一个课件

　　[教学过程]

　　一、导入新课：展示几个图片（神六发射升空、DNA双螺旋结构示意图、中华世纪坛、兴化中学的太阳鼓），说明无论多复杂的几何体，通常是由一些简单的几何体构成的，引入主体-----空间几何体。

　　先从最简单的几何体入手------棱柱棱锥和棱台及多面体

　　二、新课

　　（一）介绍棱棱锥棱台的概念

　　1、棱柱

　　⑴展示棱柱的模型及图片，汇总名称，（因其形状如柱子）故称棱柱，但不能这样定义：形状如柱子的几何体称棱柱。如何定义呢？

　　⑵几何画板展示棱柱的形成过程

　　⑶严格的棱柱相关的定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成地几何体称棱柱；平移起止位置的两个面叫棱柱的底面，多边形的边形成的面叫棱柱的侧面；每两个侧面的交线称棱柱侧棱。

　　⑷学生根据以往的经验，来表示棱柱：根据底面的形状是几边形，相应称作几棱柱，在后面加上棱柱的底面。如：

　　记为三棱柱ABC-A1B1C1，表示为四棱柱ABCD-A1B1C1D1

　　⑸让学生观察总结出棱柱的特点：两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形且对应边平行，侧面都是平行四边形

　　2、棱锥

　　⑴演示当棱柱的一个底面收缩为一个点时的情况，说明因为象一个锥子，所以叫棱锥。给出棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体，叫棱锥；这个点叫做棱锥的顶点，原棱柱的底面、侧面、侧棱仍然称棱锥的`底面、侧面、侧棱。

　　⑵对照棱柱的表示方法，总结棱锥的表示方法。

　　⑶通过图形比较得出棱锥的特点：底面是多边形，侧面是由一个公共点的三角形。

　　练习：如图的形状是否为棱锥，说明理由：（不是：，因为侧棱不交于一点。）

　　3、棱台

　　⑴观察棱台的模型，说明如何形成，并演示其形成过程

　　⑵说明棱台的相关定义

　　⑶类比棱台的表示方法

　　⑷棱台的特点：棱台的每个底面是相似的多边形，且对应边平行，侧面是梯形

　　练习：如图下部分的几何体是否为棱台？为什么？（答：不是，上下底面的对应边不平行）

　　（二）介绍棱柱、棱锥、棱台的画法

　　例1、（教材P7---例1）画一个四棱柱和一个三棱台

　　总结棱柱、棱锥、棱台草图的画法，并注意实虚线。

　　练习如图是一个三角形，画出以它为底面满足条件的棱柱。⑴三角形是水平放置的；⑵三角形是竖直放置的。

　　⑴⑵

　　例2:判断下列命题是否正确

　　(1)有两个面互相平行其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱;

　　(2)三棱柱是指三条棱的几何体;

　　(3)棱锥的侧面只能是三角形;

　　(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥,那么有六个面围成的封闭图形只能是五棱锥;

　　(5)棱台的侧面一定不会是平行四边形;

　　(6)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台

　　解：(3)(5)正确

　　（三）介绍多面体的概念

　　1、观察发现棱柱、棱锥、棱台的共同特点：

　　2、定义：由若干个平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体，其中每条边叫做多面体的棱，多面体按面的个数是几称几面体。

　　3、现实中的多面体很多：如：食盐、明矾等

　　练习：教材P8---练习1、2、3

　　例3:在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC=2, 侧面都是顶角为300的等腰三角形,E,F分别为侧棱SB,SC上的点,求三角形AEF周长的最小值

　　解：展开是一个直角三角形，最小值2