空间向量与立体几何教学反思

空间向量与立体几何教学反思第 1 篇

[教学目标]

　　一、知识与技能：认识棱柱棱锥和棱台及多面体的几何特征；了解它们的概念，能正确做出它们的草图

　　二、过程与方法：通过观察→平移→棱柱的概念，收缩→棱锥的概念，截面→棱台的概念，汇总→多面体的概念

　　三、情感态度和价值观：体会观察、比较、归纳、分析一般的科学方法，感受数学的局部和整体的关系

　　[教学难点]平移及对棱台概念的理解，平面几何与立体几何的区别

　　[教学重点] 棱柱棱锥和棱台概念间的关系，画它们的草图

　　[备注]本节是一个课件

　　[教学过程]

　　一、导入新课：展示几个图片（神六发射升空、DNA双螺旋结构示意图、中华世纪坛、兴化中学的太阳鼓），说明无论多复杂的几何体，通常是由一些简单的几何体构成的，引入主体-----空间几何体。

　　先从最简单的几何体入手------棱柱棱锥和棱台及多面体

　　二、新课

　　（一）介绍棱棱锥棱台的概念

　　1、棱柱

　　⑴展示棱柱的模型及图片，汇总名称，（因其形状如柱子）故称棱柱，但不能这样定义：形状如柱子的几何体称棱柱。如何定义呢？

　　⑵几何画板展示棱柱的形成过程

　　⑶严格的棱柱相关的定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成地几何体称棱柱；平移起止位置的两个面叫棱柱的底面，多边形的边形成的面叫棱柱的侧面；每两个侧面的交线称棱柱侧棱。

　　⑷学生根据以往的经验，来表示棱柱：根据底面的形状是几边形，相应称作几棱柱，在后面加上棱柱的底面。如：

　　记为三棱柱ABC-A1B1C1，表示为四棱柱ABCD-A1B1C1D1

　　⑸让学生观察总结出棱柱的特点：两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形且对应边平行，侧面都是平行四边形

　　2、棱锥

　　⑴演示当棱柱的一个底面收缩为一个点时的情况，说明因为象一个锥子，所以叫棱锥。给出棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体，叫棱锥；这个点叫做棱锥的顶点，原棱柱的底面、侧面、侧棱仍然称棱锥的`底面、侧面、侧棱。

　　⑵对照棱柱的表示方法，总结棱锥的表示方法。

　　⑶通过图形比较得出棱锥的特点：底面是多边形，侧面是由一个公共点的三角形。

　　练习：如图的形状是否为棱锥，说明理由：（不是：，因为侧棱不交于一点。）

　　3、棱台

　　⑴观察棱台的模型，说明如何形成，并演示其形成过程

　　⑵说明棱台的相关定义

　　⑶类比棱台的表示方法

　　⑷棱台的特点：棱台的每个底面是相似的多边形，且对应边平行，侧面是梯形

　　练习：如图下部分的几何体是否为棱台？为什么？（答：不是，上下底面的对应边不平行）

　　（二）介绍棱柱、棱锥、棱台的画法

　　例1、（教材P7---例1）画一个四棱柱和一个三棱台

　　总结棱柱、棱锥、棱台草图的画法，并注意实虚线。

　　练习如图是一个三角形，画出以它为底面满足条件的棱柱。⑴三角形是水平放置的；⑵三角形是竖直放置的。

　　⑴⑵

　　例2:判断下列命题是否正确

　　(1)有两个面互相平行其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱;

　　(2)三棱柱是指三条棱的几何体;

　　(3)棱锥的侧面只能是三角形;

　　(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥,那么有六个面围成的封闭图形只能是五棱锥;

　　(5)棱台的侧面一定不会是平行四边形;

　　(6)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台

　　解：(3)(5)正确

　　（三）介绍多面体的概念

　　1、观察发现棱柱、棱锥、棱台的共同特点：

　　2、定义：由若干个平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体，其中每条边叫做多面体的棱，多面体按面的个数是几称几面体。

　　3、现实中的多面体很多：如：食盐、明矾等

　　练习：教材P8---练习1、2、3

　　例3:在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC=2, 侧面都是顶角为300的等腰三角形,E,F分别为侧棱SB,SC上的点,求三角形AEF周长的最小值

　　解：展开是一个直角三角形，最小值2

空间向量与立体几何教学反思第 2 篇

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量

叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

a 注意：当我们说、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当

a我们说、b平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝?a （1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a同向，

当?<0时与a反向的所有向量。

（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ② 当t?

12

时，点P是线段AB的中点，则 OP

12

(OA?OB). ③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，我们就???

说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数

对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的

有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

a说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把{a，b，c}?p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R?，

叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一

个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含

着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA

叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

a

，OB

b

，则角∠AOB

说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

空间向量与立体几何教学反思第 3 篇

1、空间一点 位于不共线三点 、 、 所确定的平面内的充要条件是存在有序实数组 、 、 、 ,对于空间任一点 ,有 且 ( 时常表述为:若 且 ,则空间一点 位于不共线三点 、 、 所确定的平面内。)

　　2、若多边形的面积为 ,它在一个平面上的射影面积为 ,若多边形所在的平面与这个平面所成的二面角为 ,则有 。(射影面积公式,解答题用此须作简要说明)

　　3、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

　　4、过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。

　　5、经过两条异面直线中的一条,只有一个平面与另一条直线平行。

　　6、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

　　7、对角线相等的平行六面体是长方体。

　　8、线段垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等。

　　9、经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线。(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)

　　10、如果一个角 所在平面外一点到这个角两边的距离相等,那么这点在平面 上的射影,在这个角的平分线上。(解答题用此须作简要证明)

　　11、若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

　　(1)当底面三角形为直角三角形时,射影落在斜边中点上。

　　(2)当底面三角形为锐角三角形时,射影落在底面三角形内。

　　(3)当底面三角形为钝角三角形时,射影落在底面三角形外。

　　12、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内),那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。

　　13、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。

　　14、若平面 、平面 、平面 两两互相垂直,那么顶点 在平面 内的射影是三角形 的垂心。

　　15、棱长为 的正四面体的对棱互相垂直,对棱间的距离为 。(该间距为小棱切球之直径)

　　16、设正四面体的棱长为 ,高为 ,外接球半径为 ,内切球半径为 ,棱切球(与各条棱都相切的球,正四面体中存在两个这样的球)半径为 ,体积为 ,则:

　　, , , 或 ,

　　17、设正方体的棱长为 ,正方体的内切球、棱切球(与各条棱都相切的球)、外接球的半径分别为 、 、 ,则 , , 。

　　18、若二面角 的平面角为 ,其两个面的法向量分别为 、 ,且夹角为 ,则 或 ( )。

　　19、点 到平面 的距离: (其中 为垂足, 为斜足, 为平面 的法向量)。

　　20、证明两平面平行:

　　(1)若平面 、 的法向量 、 共线,则 ;

　　(2)若平面 、 有相同的`法向量 ,则 。

　　21、若直线 与平面 的法向量 共线,则可推出 。

　　22、设 为空间直角坐标系内一点,平面 的方程为: ,则点 到平面 的距离为 。

　　23、证明两平面垂直:

　　(1)确定两个平面 、 的法向量 、 ,若 ,则 ;

　　(2)在平面 内找出向量 ,若 与 的法向量共线,则 ;

　　24、向量 与 轴垂直 竖坐标 (对 轴、 轴同理)。

　　25、"等积变换"、"割形"与"补形"是解决立体几何问题常用方法。有关正四面体中的计算有时可造正方体模型,使正方体的面对角线恰好构成正四面体。

　　三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体。

　　题型:四面体abcd中,共顶点a的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1、 、3,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为( )。该题型解法:可构造球内接长方体,长方体的体对角线长为球直径。

　　补充:三棱锥能够构造长方体的几种基本情形

　　(1)三条侧棱两两垂直的三棱锥可以构造长方体;

　　(2)三个侧面两两垂直的三棱锥可以构造长方体;

　　(3)三组对棱两两相等的三棱锥可以构造长方体。

空间向量与立体几何教学反思第 4 篇

[教学目标]

一、知识与技能：认识棱柱棱锥和棱台及多面体的几何特征；了解它们的概念，能正确做出它们的草图

二、过程与方法：通过观察→平移→棱柱的概念，收缩→棱锥的概念，截面→棱台的概念，汇总→多面体的概念

三、情感态度和价值观：体会观察、比较、归纳、分析一般的科学方法，感受数学的局部和整体的关系

[教学难点]平移及对棱台概念的理解，平面几何与立体几何的区别

[教学重点]棱柱棱锥和棱台概念间的关系，画它们的草图

[备注]本节是一个课件

[教学过程]

一、导入新课：展示几个图片（神六发*升空、dna双螺旋结构示意图、中华世纪坛、兴化中学的太阳鼓），说明无论多复杂的几何体，通常是由一些简单的几何体构成的，引入主体-----空间几何体。

先从最简单的几何体入手------棱柱棱锥和棱台及多面体

二、新课

（一）介绍棱棱锥棱台的概念

1、棱柱

⑴展示棱柱的模型及图片，汇总名称，（因其形状如柱子）故称棱柱，但不能这样定义：形状如柱子的几何体称棱柱。如何定义呢？

⑵几何画板展示棱柱的形成过程

⑶严格的棱柱相关的定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成地几何体称棱柱；平移起止位置的两个面叫棱柱的底面，多边形的边形成的面叫棱柱的侧面；每两个侧面的交线称棱柱侧棱。

⑷学生根据以往的经验，来表示棱柱：根据底面的形状是几边形，相应称作几棱柱，在后面加上棱柱的底面。如：

记为三棱柱abc-a1b1c1，表示为四棱柱abcd-a1b1c1d1

⑸让学生观察总结出棱柱的特点：两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形且对应边平行，侧面都是平行四边形

2、棱锥

⑴演示当棱柱的一个底面收缩为一个点时的情况，说明因为象一个锥子，所以叫棱锥。给出棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体，叫棱锥；这个点叫做棱锥的顶点，原棱柱的底面、侧面、侧棱仍然称棱锥的底面、侧面、侧棱。

⑵对照棱柱的表示方法，总结棱锥的表示方法。

⑶通过图形比较得出棱锥的特点：底面是多边形，侧面是由一个公共点的三角形。

练习：如图的形状是否为棱锥，说明理由：（不是：，因为侧棱不交于一点。）

3、棱台

⑴观察棱台的模型，说明如何形成，并演示其形成过程

⑵说明棱台的相关定义

⑶类比棱台的表示方法

⑷棱台的特点：棱台的每个底面是相似的多边形，且对应边平行，侧面是梯形

练习：如图下部分的几何体是否为棱台？为什么？（答：不是，上下底面的对应边不平行）

（二）介绍棱柱、棱锥、棱台的画法

例1、（教材p7---例1）画一个四棱柱和一个三棱台

总结棱柱、棱锥、棱台草图的画法，并注意实虚线。

练习如图是一个三角形，画出以它为底面满足条件的棱柱。⑴三角形是水平放置的；⑵三角形是竖直放置的。

⑴⑵

例2:判断下列命题是否正确

(1)有两个面互相平行其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱;

(2)三棱柱是指三条棱的几何体;

(3)棱锥的侧面只能是三角形;

(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥,那么有六个面围成的封闭图形只能是五棱锥;

(5)棱台的侧面一定不会是平行四边形;

(6)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台

解：(3)(5)正确

（三）介绍多面体的概念

1、观察发现棱柱、棱锥、棱台的共同特点：

2、定义：由若干个平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体，其中每条边叫做多面体的棱，多面体按面的个数是几称几面体。

3、现实中的多面体很多：如：食盐、明*等

练习：教材p8---练习1、2、3

例3:在三棱锥s-abc中,sa=sb=sc=2,侧面都是顶角为300的等腰三角形,e,f分别为侧棱sb,sc上的点,求三角形aef周长的最小值

解：展开是一个直角三角形，最小值2