二次函数题型分类总结
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二次函数题型分类总结第 1 篇
知识点一：二次函数的定义
考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。
备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x2－4x+1； ②y=2x2； ③y=2x2+4x； ④y=－3x；
⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =； ⑧y=－5x。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。
课后练习：
（1）下列函数中，二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B。 C。 D。y=x(x—1)
（2）如果函数是二次函数，那么m的值为
知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值
1、二次函数 ，当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点
2、对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（ ， ）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（ ， ）。二次函数用配方法或公式法（求h时可用代入法）可化成：的形式，其中h= ,k=
练习：
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。
2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .
3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .
5．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。
6．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。
7．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。
知识点三：函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=x2－2x+1 ； （2）y=－3x2+8x－2； （3）y=－x2+x－4
知识点四：函数y=a(x－h)2的图象与性质
1．填表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
2．已知函数y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？
3．试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
4．试说明函数y=(x－3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。
知识点五：二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。
3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3 知识点六：二次函数的平移 技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)2+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减 6.抛物线y= －x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 7.抛物线y= 2x2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。 8.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 知识点七：函数的交点 11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。 12.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。 知识点八：函数的的对称 13.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。 14.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则 a= b= c= 知识点九：函数的图象特征与a、b、c的关系 ①a的符号判别---开口向上 a 0；开口向下 a 0； ②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定： 若交点在y轴的正半轴c 0； 若交点在y轴的负半轴c 0； 若交点在原点c 0； ③b的符号由对称轴来确定：（左同右异) 对称轴在Y轴的左侧 a、b同号； 对称轴在Y轴的右侧a、b异号。 ④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a－b+c的符号由x=－1时的点的位置决定 点（1，a+b+c）在x轴上方a+b+c 0点（1，a+b+c）在x轴下方a+b+c 0 点（-1，a-b+c）在x轴上方a-b+c 0点（-1，a-b+c）在x轴下方a-b+c 0 ⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定；b－2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定 ⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论： ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤ 3.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ） 4、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c0 ⑵a-b+c0 ⑶abc 0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 知识点十：二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 知识点：二次函数与x轴有交点，y=0,；与y轴有交点，x=0. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可） 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是 二次函数的图象如图所示， （1）根据图象写出方程的两个根． 根据图象写出不等式的解集． 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． 已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( ) A.m≥; B.m>; C.m≤; D.m< 已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝ 已知抛物线的图象与x轴有两个交点为，且，m= 已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值； （2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值. 如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1.5） （1）求此抛物线的函数关系式。 （2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。 （3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。 知识点十一：函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。 三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。 3．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。 反馈： 6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。 10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。 12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。 17．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2上，求函数解析式。 知识点十二：二次函数应用 1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数. (1)试求y与x的之间的关系式. (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本） 2、抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； 3、已知抛物线与x轴没有交点． (1)求c的取值范围； (2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． ①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0;④当y＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写一个即可） 2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 5.已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为，则m的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.48 6.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是 7.已知抛物线y＝x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。 函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。 2．知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。 3．知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。 4．知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。 三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。 5．次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。 6．知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。 7．物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。 8．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。 9．物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝，c＝. 10．抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。 11．据下列条件求关于x的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x= （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10） 11．二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= －3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式 12．知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。 13．二次函数图象顶点坐标（－3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。 14．知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。 15．二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？ 16．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。 17．物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= －x+2上，求函数解析式。 二次函数应用 (一）经济策略性 1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数. (1)试求y与x的之间的关系式. (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本） 2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。 （1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。 （2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。 （2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？ 3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。 (1)求Y与X之间的函数关系式； (2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式； (3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？ 2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n. （2）当a＞0，f（x）在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x0=（p+q）. 若－＜p，则f（p）=m，f（q）=M； 若p≤－＜x0，则f（－）=m，f（q）=M； 若x0≤－＜q，则f（p）=M，f（－）=m； 若－≥q，则f（p）=M，f（q）=m. ●点击双基 1.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），则f（）等于 A.－ B.－ C.c D. 解析：f（）=f（－）=. 答案：D 2.二次函数y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y=［x－（a+b）］2+c2+2ab－（a+b）2=［x－（a+b）］2+c2－a2－b2. ∴顶点为（a+b，c2－a2－b2）. 由题意知c2－a2－b2=0. ∴△ABC为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在［，+∞）上递增，由题设只需≤－2m≤－16， ∴f （1）=9－m≥25. 答案：A 4.函数f（x）=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________. 解析：f（x）=2（x－）2－. 当x=1时，f（x）min=－3；当x=－1时，f（x）max=9. 答案：－3 9 5.（春季上海）若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=__________. 解法一：二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－=1.∴a=－4.而f（x）是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，∴=1.∴b=6. 解法二：∵二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，∴f（x）可表示为f（x）=（x－1）2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=－2.∴a=－4，b的计算同解法一. 解法三：∵二次函数的对称轴为x=1，∴有f（x）=f（2－x），比较对应项系数，∴a=－4，b的计算同解法一. 答案：6 ●典例剖析 【例1】 设x、y是关于m的方程m2－2am+a+6=0的两个实根，则（x－1）2+（y－1）2的最小值是 A.－12 B.18 C.8 D. 剖析：由Δ=（－2a）2－4（a+6）≥0，得a≤－2或a≥3. 于是有（x－1）2+（y－1）2=x2+y2－2（x+y）+2=（x+y）2－2xy－2（x+y）+2=（2a）2－2（a+6）－4a+2=4a2－6a－10=4（a－）2－. 由此可知，当a=3时，（x－1）2+（y－1）2取得最小值8. 答案：C 深化拓展 Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件. 【例2】 （江苏，13）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 12 34 y 6 －4 －6 则不等式ax2+bx+c＞0的解集是______________. 解析：由表知y=a（x+2）（x－3），又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）. 答案：{x|x＞3或x＜－2} 【例3】 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是－＜x＜，求a、b、c的取值范围. 解：依题意ax2+bx+c－25=0有解，故Δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式ax2+bx+c＞0的解是－＜x＜， ∴a＜0且有－=－，=－. ∴b=a，c=－a. ∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0. ∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24. 评述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题. ●闯关训练 夯实基础 1.下图所示为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，则｜OA｜·｜OB｜等于 A. B.－ C.± D.无法确定 解析：|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=||=－（∵a＜0，c＞0）. 2.已知f（x）=x2－2x+3，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是___________________. 解析：通过画二次函数图象知m∈［1，2］. 答案：［1，2］ 3.已知函数y=（ex－a）2+（e－x－a）2（a∈R，且a≠0），求y的最小值. 解：y＝（ex＋e－x）2－2a（ex＋e－x）＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则f（t）＝t2－2at＋2a2－2. ∵t＝ex＋e－x≥2，∴f（t）＝（t－a）2＋a2－2的定义域为［2，＋∞）. ∵抛物线的对称轴方程是t＝a， ∴当a≥2时，ymin＝f（a）＝a2－2；当a＜2且a≠0时，ymin＝f （2）＝2（a－1）2. 4.要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则a的最小值为___________________. 解析：要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则y=x2+4x在［a，+∞）上是单调函数.∴a≥－2. 答案：－2 5.已知函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围. 解：若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求. 若m≠0，有两种情况： ①原点的两侧各有一个，则 m＜0； ②都在原点右侧，则 解得0＜m≤1. 综上可得m∈（－∞，1］. 培养能力 6.设f（x）=x2－2ax+2.当x∈［－1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围. 解： （1）当a≤－1时，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立 f（x）min≥a，即3+2a≥aa≥－3.故此时－3≤a≤－1. （2）当a＞－1时，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立f（x）min≥a，即2－a2≥aa2+a－2≤0－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1. 由 （1） （2）知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立. 7.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）. （1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点； （2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围. 解： （1）当a=1，b=－2时，f（x）=x2－x－3=xx2－2x－3=0（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，∴f（x）的不动点为x=3或x=－1. （2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点对任意实数b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有两个不等实根对任意实数b，Δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恒成立对任意实数b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恒成立Δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0（1－4a）2－（1+4a）＜04a2－3a＜0a（4a－3）＜00＜a＜. 8.（全国，文）设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R. （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）求函数f（x）的最小值. 解： （1）f（x）= ∵f （0）=1≠0， ∴f（x）不是R上的奇函数. ∵f （1）=1，f（－1）=3，f （1）≠f（－1）， ∴f（x）不是偶函数. 故f（x）是非奇非偶的函数. （2）当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f （2）=3. 当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）min=f（）=. 总之，f（x）min=. 探究创新 9.二次函数f（x）=px2+qx+r中实数p、q、r满足++=0，其中m＞0， 求证： （1）pf（）＜0； （2）方程f（x）=0在（0，1）内恒有解. 证明： （1）pf（）=p［p（）2+q（）+r］ =pm［++］ =pm［－］ =p2m［］ =p2m［－］. 由于f（x）是二次函数，故p≠0. 又m＞0，所以pf（）＜0. （2）由题意，得f （0）=r，f （1）=p+q+r. ①当p＞0时，由 （1）知f（）＜0. 若r＞0，则f （0）＞0，又f（）＜0， ∴f（x）=0在（0，）内有解； 若r≤0，则f （1）=p+q+r=p+（m+1）（－－）+r=－＞0， 又f（）＜0， 所以f（x）=0在（，1）内有解. 因此方程f（x）=0在（0，1）内恒有解. ②当p＜0时，同样可以证得结论. 评述： （1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改. （2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好的. ●思悟小结 1.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据. 2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键. ●教师下载中心 教学点睛 1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题. 2.求二次函数的解析式就是确定函数式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的值.二次函数也可以表示为y=a（x－x0）2+h或y=a（x－x1）（x－x2）（b2－4ac≥0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值. 3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结： （1）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）＜0. （2）二次方程f（x）=0的两根都大于r （3）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根 （4）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内. （5）方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q） 4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如： （1）二次不等式f（x）=ax2+bx+c≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞）a＜0且f（α）=f（β）=0. （2）当a＞0时，f（α）＜f（β）|α+|＜|β+|； 当a＜0时，f（α）＜f（β）|α+|＞|β+|. （3）当a＞0时，二次不等式f（x）＞0在［p，q］上恒成立或或 （4）f（x）＞0恒成立或 f（x）＜0恒成立或 拓展题例 【例1】 已知当m∈R时，函数f（x）＝m（x2－1）＋x－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 解： （1）m=0时，f（x）=x－a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R. （2）m≠0时，由题意知，方程mx2＋x－（m＋a）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）＝4m2＋4am＋1≥0.又只需Δ′＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1，即a∈［－1，1］. ∴m＝0时，a∈R； m≠0时，a∈［－1，1］. 评述：g（a）是a的函数，可作出g（a）的草图来求最大值. 【例2】 已知f（x）＝ax2＋bx＋c的图象过点（－1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤对一切实数x都成立？ 解：∵f（x）的图象过点（－1，0）， ∴a－b+c=0 ①∵x≤f（x）≤对一切x∈R均成立， ∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1. 故有a＋b＋c＝1. ②由 ②得b=，c=－a. ∴f（x）＝ax2＋x＋－a. 故x≤ax2＋x＋－a≤对一切x∈R成立， 也即恒成立 解得a=.∴c=－a=. ∴存在一组常数a=，b=，c=，使不等式x≤f（x）≤对一切实数x均成立. 评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法. 二次函数的知识点总结 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<> 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<> 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h>0,k<> 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 当h<><> 因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b> 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b> 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x| 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<><> 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b a时，y最小(大)值=""> 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．二次函数题型分类总结第 2 篇
二次函数题型分类总结第 3 篇
二次函数题型分类总结第 4 篇